-
Konrado5
Słyszałem, że nie da się zdefiniować zbioru inaczej niż aksjomatycznie. Otóż wydaje mi się, że można zbiór zdefiniować jako "cechę", a należenie do zbioru jako "posiadanie tej cechy". Przykładowo, gdy mówię o zbiorze krzeseł w klasie to mówimy o cesze "bycia krzesłem w klasie", a gdy mówię, że coś należy do zbioru krzeseł w klasie, to mam na myśli nic innego jak to, że to coś jest krzesłem w klasie, czyli posiada cechę bycia krzesłem w klasie. Ktoś może zapytać o to jak zdefiniuję "cechę". Otóż to pojęcie można zdefiniować jedynie ostensywnie tzn. przez odwołanie się do doświadczenia np. pokazując 2 różne przedmioty i mówiąc, że to co pozwala je odróżnić to cechy. Jednak aksjomaty teorii mnogości zdają się zaprzeczać tej definicji, bo z aksjomatów wynika, że zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje, a z mojej definicji wręcz przeciwnie. Zbiór wszystkich zbiorów musi istnieć, bo gdy mówimy, że coś jest zbiorem to mówimy o tym, że to coś posiada cechę bycia zbiorem, czyli według mojej definicji należy do zbioru wszystkich zbiorów.
W mojej definicji paradoks Russerla jest sprowadzony do pseudoparadoksu. Załóżmy, że istnieje zbiór wszystkich zbiorów, których on sam nie jest elementem. Powstaje pytanie: czy "zbiór wszystkich zbiorów, których on sam nie jest elementem" jest elementem "zbioru wszystkich zbiorów, których on sam nie jest elementem". Gdy odpowiedź brzmi "tak", to wtedy nie jest to zbiór tylko tych zbiorów, które nie są elementami samego siebie. Gdy odpowiedź brzmi "nie", to nie jest to znów zbiór wszystkich zbiorów, które nie są elementami samego siebie.
Według mojej definicji "zbiór wszystkich zbiorów, których elementem nie jest on sam" to nic innego jak "cecha bycia cechą nie będącą cechą siebie samej". Co znaczy, że "zbiór wszystkich zbiorów, których on sam nie jest elementem" jest elementem "zbioru wszystkich zbiorów, których on sam nie jest elementem"? To znaczy nic innego jak to, że "cecha bycia cechą nie będącą cechą siebie samej" posiada cechę "bycia cechą nie będącą cechą siebie samej", czyli jednak nie jest "cechą bycia cechą nie będącą cechą siebie samej". A jeżeli powiemy, że "zbiór wszystkich zbiorów, których on sam nie jest elementem" jest elementem siebie samego, to nie mówimy o niczym innym jak o tym, że "cecha bycia cechą nie będącą cechą siebie samej" nie posiada "cechy bycia cechą nie będącą cechą siebie samej", czyli nie jest "cechą bycia cechą nie będącą cechą siebie samej". W związku z tym pytanie o to "czy zbiór wszystkich zbiorów nie będących elementami samego siebie" jest elementem samego siebie jest pozbawione sensu, ale to nie znaczy, że "zbiór wszystkich zbiorów nie będących elementami samego siebie" jest pojęciem bezsensownym. To znaczy jedynie to, że "należenie zbioru wszystkich zbiorów nie będących elementami samego siebie do samego siebie" jest pojęciem bezsensownym. -
Konrado5
Dlaczego tu nikt nie pisze? Czyżby temat nieciekawy? Przecież matematyczny. :D -
idiota
-
Konrado5
Zdaję sobie sprawę, że rozważam filozoficznie ten temat, ale jednak wiąże się z tym o czym mówią aksjomaty teorii mnogości. -
-
Szafa
po pierwsze, to twoja definicja zbioru jako cechy, jest nieprecyzyjna. Mój zbiór, to: liczby 2,5,14,35,36,111000088899 oraz dla lepszej widoczności, słoń. Całkiem porządny zbiór. ćwiczenie: znajdź 'cechę'; ] zbiór to jest coś co istnieje tylko w ludzkich głowach, wybierasz jakieś rzeczy które akurat ci się spodobają, zbierasz je razem i mówisz że, o, to właśnie one tworzą mój zbiór, nazwę go A.
po drugie, dalsza część jest praktycznie nieczytelna, dlatego pewnie każdy robi tl;dr. Nie widzę żadnego logicznego ciągu wydarzeń, który by prowadził do tego, że tylko pytanie jest bez sensu, a nie cały zbiór. To tak jak x=(a+b^n), a więc Bóg istnieje! -
Konrado5
>Szafa napisał
>po pierwsze, to twoja definicja zbioru jako cechy, jest
>nieprecyzyjna. Mój zbiór, to: liczby
>2,5,14,35,36,111000088899 oraz dla lepszej widoczności,
>słoń. Całkiem porządny zbiór. ćwiczenie: znajdź
>'cechę'; ]
Wbrew pozorom nie trudno znaleźć cechę dla tego przykładu. Można na przykład powiedzieć, że jest to "cecha bycia wybranym przez ciebie obiektem" albo "cecha bycia liczbą 2 albo liczbą 5 albo liczbą 14 albo liczbą 35 albo liczbą 36 albo liczbą 111000088899".
>zbiór to jest coś co istnieje tylko w ludzkich
>głowach, wybierasz jakieś rzeczy które akurat ci się
>spodobają, zbierasz je razem i mówisz że, o, to właśnie
>one tworzą mój zbiór, nazwę go A.
Ja nie twierdziłem, że zbiór istnieje nie tylko w ludzkich głowach.
>po drugie, dalsza część jest praktycznie nieczytelna,
>dlatego pewnie każdy robi tl;dr. Nie widzę żadnego
>logicznego ciągu wydarzeń, który by prowadził do tego,
>że tylko pytanie jest bez sensu, a nie cały zbiór. To tak
>jak x=(a+b^n), a więc Bóg istnieje!
No faktycznie nie wyjaśniłem do końca. Otóż cały zbiór nie może być bez sensu, bo z definicji jest niczym innym jak "cechą bycia cechą nie będącą cechą siebie samej". Można podać przykłady obiektów posiadających tą cechę. Jest to na przykład "cecha bycia krzesłem". "cecha bycia krzesłem" nie posiada siebie samej, bo nie jest krzesłem. Można podać też przykład cechy, która posiada "cechę bycia cechą będącą cechą siebie samej". Jest to na przykład "cecha bycia cechą", czyli "zbiór wszystkich zbiorów". Oczywiście z tego, co wiem to w teorii mnogości nie istnieje taki zbiór, jednak zauważyłem, że to jest bardzo sprzeczne z moim rozumieniem zbioru jako "cechy". Czy mówiąc o tym, że zbiór krzeseł w klasie składa się z 5 elementów masz na myśli coś innego niż to, że w klasie jest 5 krzeseł, czyli 5 krzeseł posiada cechę bycia krzesłem w klasie? -
14623
Jesli definiujesz zbior jako 'ceche', to przydałoby się zdefiniować cechę, bo dodajesz pojęcie które zdefiniujesz prawdopodobnie aksjomatycznie, i myślisz że czynisz postęp.
Czy cechy nie definiuje się przypadkiem jako wartości jednoczącej elementy danego zbioru? -
Konrado5
>14623 napisał
>Jesli definiujesz zbior jako 'ceche', to przydałoby się
>zdefiniować cechę, bo dodajesz pojęcie które
>zdefiniujesz prawdopodobnie aksjomatycznie, i myślisz że
>czynisz postęp.
Cechę można zdefiniować jedynie ostensywnie tzn. cecha jest tym, co pozwala odróżnić jeden obiekt od drugiego. A co to znaczy? Wyjaśnić to można pokazując np. 2 różne kolory i mówiąc, że "czerwień" to cecha odróżniająca ten kolor od "niebieskiego". Cechami są również: tożsamość ze sobą, brak sprzeczności wewnętrznej, relacje z innymi obiektami itp.
>Czy cechy nie definiuje się przypadkiem jako wartości
>jednoczącej elementy danego zbioru?
Nie. Zbiór (cecha) jest tym co jednoczy różne elementy. -
Szpieg z krainy deszczowców
zaraz jeśli cechą jest to co pozwala odróżnić jedn obiekt od drugiego to co jeśli nie potrafimy odróżnić? -
Szafa
yyy, to w takim razie już nie rozumiem z czym masz problem. Tzn wiem, twój problem tkwi w tym, że wymyśliłeś sobie, że zbiór nazwiesz cechą, co rzeczywiście sprawiło, że
>"cecha bycia cechą nie będącą cechą siebie samej" nie posiada "cechy bycia cechą nie będącą cechą siebie samej" (*)
jak sam piszesz jest bez sensu i co do tego nie mam żadnych wątpliwości :P
jeśli cecha=zbiór i posiadanie cechy=należenie do zbioru, a pytanie: czy zbiór wszystkich zbiorów które nie należą do siebie należy do siebie? jest jak najbardziej sensowne, to znaczy że po prostu w języku 'cech' brzmi to głupio, co nie znaczy że jest błędne; ]
przeanalizuj jeszcze raz dowód (korzystający z niechcianego przez ciebie aksjomatu wyróżniania podzbioru przez własność), czemu nie ma takiego zbioru. W którym miejscu się przydaje? W tym w którym trzeba zrobić zbiór, złożony z elementów posiadających pewną własność. (cóż to innego, niźli twoja cecha!) Aksjomat mówi, że zawsze da się zrobić taki zbiór(choćby byl i pusty) natomiast ty mówisz, że jest to bez sensu, bo zagubiłeś się w wymowie zwrotu (*).
Twoje rozumienie zbioru jako cechy, jest całkiem normalne, po prostu do zbioru należy to co sobie wybiorę(btw zapomniałeś o słoniu!). Wybacz, ale poza pokrętnym nazewnictwem nie wiedzę tu jakiegoś przełomu. To tak jakbym ja nazwał zbiór jeziorem, a należenie do zbioru, byciem rybą. Aż się boję przetłumaczyć zwrot (*), ale myślę że też mógłbym powiedzieć że nie ma sensu.
tak już btw, to istnieję inne dowodu nieistnienia zbioru wszystkich zbiorów, patrz np tw Cantora i wnioski z niego. -
idiota
>Konrado5 napisał
>
>Nie. Zbiór (cecha) jest tym co jednoczy różne elementy.
a w jaki sposób, co i w jakim sensie jednoczy cecha:
"cecha bycia liczbą 2 albo liczbą 5 albo liczbą 14 albo liczbą 35 albo liczbą 36 albo liczbą 111000088899 albo słoniem(zapomniałeś o słoniu!)"
w jaki sposób powyższe jednoczy słonia z liczbą 111000088899?
pojęcia "jednoczenia" nie ma w matematyce, jest dodawanie.
ale jak dodamy 2 do 5 to dostaniemy 7 a jak 111000088899 do słonia to nam się liczydło popsuje (słoń swoje waży).
popadasz w mistykę. -
Konrado5
>Jigsaw napisał
>zaraz jeśli cechą jest to co pozwala odróżnić jedn
>obiekt od drugiego to co jeśli nie potrafimy odróżnić?
To wtedy nie znamy żadnych cech takich, które posiada obiekt A, a nie posiada obiekt B. -
Konrado5
>Szafa napisał
>>"cecha bycia cechą nie będącą cechą siebie samej" nie
>posiada "cechy bycia cechą nie będącą cechą siebie
>samej" (*)
>jak sam piszesz jest bez sensu i co do tego nie mam żadnych
>wątpliwości :P
Ale to nie znaczy, że "cecha bycia cechą nie będącą cechą siebie samej", czyli "zbiór wszystkich zbiorów nie będących elementami samego siebie" jest pojęciem bezsensownym. To, że nie można zadać pewnych pytań dotyczących tej cechy nie znaczy, że ta cecha jest źle sformułowanym pojęciem.
>przeanalizuj jeszcze raz dowód (korzystający z
>niechcianego przez ciebie aksjomatu wyróżniania podzbioru
>przez własność), czemu nie ma takiego zbioru. W którym
>miejscu się przydaje? W tym w którym trzeba zrobić
>zbiór, złożony z elementów posiadających pewną
>własność. (cóż to innego, niźli twoja cecha!) Aksjomat
>mówi, że zawsze da się zrobić taki zbiór(choćby byl i
>pusty) natomiast ty mówisz, że jest to bez sensu, bo
>zagubiłeś się w wymowie zwrotu (*).
Nie rozumiem.
-
Konrado5
>idiota napisał
>
>a w jaki sposób, co i w jakim sensie jednoczy cecha:
>
>"cecha bycia liczbą 2 albo liczbą 5 albo liczbą 14 albo
>liczbą 35 albo liczbą 36 albo liczbą 111000088899 albo
>słoniem(zapomniałeś o słoniu!)"
>
>w jaki sposób powyższe jednoczy słonia z liczbą
>111000088899?
W taki, że posiada tą samą cechę (napisana wyżej).
>pojęcia "jednoczenia" nie ma w matematyce, jest dodawanie.
>ale jak dodamy 2 do 5 to dostaniemy 7 a jak 111000088899 do
>słonia to nam się liczydło popsuje (słoń swoje waży).
Ale ja nie rozumiem "jednoczenia" jako matematycznego dodawania.
-
meler
To i ja się ustosunkuję:)
Twój wykład o "cechach" pozwala intuicyjnie zrozumieć, czym jest zbiór. Łatwo widać, że istnieje wzajemna jednoznaczność między zbiorem a "cechą", należeniem do zbioru a "posiadaniem cechy", co uzasadniasz.
Ze względu właśnie na tą wzajemną jednoznaczność, nie możesz uniknąć antynomii Russela. Analogiem "zbioru" Russela będzie w języku cech następująca cecha:
Z - "cecha bycia cechą nieposiadającą siebie samej"
Rzecz jasna, istnieją "cechy nieposiadające siebie samej". Cecha "bycie słoniem" nie jest słoniem:)
Załóżmy, że Z posiada siebie samą. W takim razie Z jest cechą nieposiadającą siebie samej. Sprzeczność.
Załóżmy, że Z nie posiada siebie samej. W takim razie Z nie jest cechą nieposiadającą siebie samej. A więc Z posiada siebie samą. Druga sprzeczność.
Antynomia więc działa jak działała. Inne jest tylko nazewnictwo.
Co więcej, Twoja definicja nie zastępuje aksjomatyki. Nie mówi nic o własnościach "cech", a tylko, jak już pisałem, pozwala sobie wyrobić pewną intuicję.
I tak musisz np. zapostulować istnienie "cechy pustej", której nic nie posiada (odpowiednik zbioru pustego).
Nie jestem pewien, ale chyba w Kuratowskiego "Wstępie do teorii mnogości i topologii" przy aksjomatyce teorii mnogości podano podobne intuicje. Tak czy siak, jeśli to wszystko jest owocem Twojej przekminy, to szacun i zachęta do dalszej zabawy:) -
idiota
>Konrado5 napisał
>W taki, że posiada tą samą cechę (napisana wyżej).
>
ale to nie jest żadna cecha tylko zestaw cech i nic tu nie zostało "zjednoczone". nic nie "jednoczy" słonia z piątką.
>Ale ja nie rozumiem "jednoczenia" jako matematycznego
>dodawania.
>
wspaniale.
a ja go wcale nie rozumiem.
-
Łukasz
A zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje z prostego twierdzenia Cantora, które głosi, że moc każdego zbioru jest mniejsza od mocy jego zbioru potęgowego. To tak samo jak twierdzenie, że nie istnieje największa liczba naturalna.
Chcesz zabłysnąć tutaj jakimiś wywodami filozoficznymi, a nic nie udowodniłeś. Zdefiniuj językiem matematycznym cechę, to wtedy to będzie miało jakiś sens, a tak to zdefiniowałeś zbiór innym aksjomatem. -
Konrado5
>meler napisał
>Twój wykład o "cechach" pozwala intuicyjnie zrozumieć,
>czym jest zbiór. Łatwo widać, że istnieje wzajemna
>jednoznaczność między zbiorem a "cechą", należeniem do
>zbioru a "posiadaniem cechy", co uzasadniasz.
Ale to nie jest definicja zbioru? Bo o ile ja wiem zbiór się definiuje jedynie aksjomatycznie.
>
>Ze względu właśnie na tą wzajemną jednoznaczność, nie
>możesz uniknąć antynomii Russela. Analogiem "zbioru"
>Russela będzie w języku cech następująca cecha:
>
>Z - "cecha bycia cechą nieposiadającą siebie samej"
Zgadza się.
>Rzecz jasna, istnieją "cechy nieposiadające siebie samej".
>Cecha "bycie słoniem" nie jest słoniem:)
Zgadza się.
>Załóżmy, że Z posiada siebie samą. W takim razie Z jest
>cechą nieposiadającą siebie samej. Sprzeczność.
>Załóżmy, że Z nie posiada siebie samej. W takim razie Z
>nie jest cechą nieposiadającą siebie samej. A więc Z
>posiada siebie samą. Druga sprzeczność.
To świadczy tylko o tym, że nie da się sformułować pojęcia posiadania cechy Z przez siebie samą. To, że się takiego pojęcia nie da sformułować nie znaczy, że nie da się sformułować cechy Z. To, że nie da się odpowiedzieć na pytanie o posiadanie cechy Z przez siebie samą nie znaczy, że cecha Z to bezsensowne pojęcie.
>Co więcej, Twoja definicja nie zastępuje aksjomatyki. Nie
>mówi nic o własnościach "cech", a tylko, jak już
>pisałem, pozwala sobie wyrobić pewną intuicję.
Co masz na myśli mówiąc o własnościach "cech"?
>I tak musisz np. zapostulować istnienie "cechy pustej",
>której nic nie posiada (odpowiednik zbioru pustego).
Przykładem tej cechy jest "cecha bycia trójkątem i czworobokiem równocześnie". Tylko, że w takim ujęciu można mówić o wielu cechach pustych, co jest sprzeczne z aksjomatem mówiącym o tym, że istnieje tylko jeden zbiór pusty. -
Konrado5
>Łukasz napisał
>A zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje z prostego
>twierdzenia Cantora, które głosi, że moc każdego zbioru
>jest mniejsza od mocy jego zbioru potęgowego. To tak samo
>jak twierdzenie, że nie istnieje największa liczba
>naturalna.
Z tego co wiem, to są aksjomatyki w których istnieje zbiór wszystkich zbiorów.
>Chcesz zabłysnąć tutaj jakimiś wywodami filozoficznymi,
>a nic nie udowodniłeś. Zdefiniuj językiem matematycznym
>cechę, to wtedy to będzie miało jakiś sens, a tak to
>zdefiniowałeś zbiór innym aksjomatem.
No właśnie wykładowca z logiki mi powiedział, że w matematyce nie można przyjąć definicji zbioru jako "cechy", bo takie pojęcie jest nieścisłe, a zbiór zdefiniowany aksjomatycznie jest pojęciem ścisłym. -
meler
>To świadczy tylko o tym, że nie da się sformułować pojęcia posiadania >cechy Z przez siebie samą.
Tak, co więcej, nie da się sformułować pojęcia nieposiadania cechy Z przez siebie samą.
>To, że się takiego pojęcia nie da sformułować nie znaczy, że nie da >się sformułować cechy Z. To, że nie da się odpowiedzieć na pytanie >o posiadanie cechy Z przez siebie samą nie znaczy, że cecha Z to >bezsensowne pojęcie.
Istnieją cechy, których nieposiadanie przez siebie samą nie prowadzi do sprzeczności. (cecha S := "bycie słoniem").
Istnieją też cechy, których posiadanie przez siebie samą nie prowadzi do sprzeczności. (cecha "bycie cechą posiadającą siebie samą").
Co więcej, dowiedliśmy do tej pory, że istnieją jednak również cechy, których nieposiadanie (lub posiadanie) przez siebie samą prowadzi do sprzeczności (cecha Z).
Pokontemplujmy Twoją definicję "cechy".
Zdefiniowałeś "cechę" jako "coś, co pozwala odróżnić 2 przedmioty". Oczywiście, skoro pozwala odróżnić, to pozwala także "stwierdzić, że pewne 2 przedmioty są nieodróżnialne" (jak dwa krzesła w klasie ze względu na cechę "bycia krzesłem w klasie"). "Przedmiotem" może być jak rozumiem cokolwiek, także cecha.
Systematyzując powyższe, "cecha" to coś takiego, że dowolne 2 "przedmioty" są albo "odróżnialne" albo "nieodróżnialne" względem niej.
Przykładowo, przedmioty: Jaś i Małgosia są "nieodróżnialne" względem cechy "bycia słoniem" (żadne z nich jest słoniem), ale są odróżnialne względem cechy "bycia dziewczynką".
Zastanówmy się, czy cecha Z spełnia warunki powyższej definicji? Ano nie, bo zarówno "odróżnialność", jak i "nieodróżnialność" cechy Z od cechy Z względem cechy Z prowadzi do sprzeczności.
Innymi słowy, istnieją przedmioty, których cecha Z nie pozwala ani "odróżnić", ani "nie odróżnić". Tymi przedmiotami są cechy: Z oraz Z
QED :)
Podobne Tematy
|
|
Królowa nauk. Najpięknijsza i najbardziej logiczna nauka. To grono jest dla tych, którzy kochaj..
