-
Anonim
Na początek rada: chodźcie na wykłady i uważajcie, ja tego nie zrobiłem i mam... Wie ktoś jak obliczyć funkcję od endomorfizmu? Rozumiem czym jest endomorfizm ale samo pytanie już tak średnio...:) Z góry dzięki za pomoc. -
Łasic
Jeśli rozumiesz czym jest endomorfizm, to wiesz zapewne, że endomorfizmom skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych odpowiadają macierze kwadratowe. Macierze takie można mnożyć przez siebie (w szczególności podnosić do potęg naturalnych), mnożyć przez liczby i dodawać do siebie. Czyli można na przykład mając macierz A policzyć macierz A^2 + 5A. Całkiem naturalnym pomysłem jest teraz, mając funkcję rzeczywistą zadaną wzorem f(x) = x^2 + 5x i macierz (endomorfizm) A pisać f(A) = A^2 + 5A. Jeśli A jest macierzą odwracalną to można zdefiniować g(A) = A^(-1) dla funkcji g(x) = 1/x. Przyjmując dodatkowo dla h(x) = 1, że h(A) = I - macierz jednostkowa, mozna liczyć dowolne funkcje wymierne, jeśli akurat macierze występujące w mianowniku sa odwracalne. Nie dość tego - wiele funkcji (tzw. funkcje analityczne) jest zdefiniowanych przez swoje szeregi potęgowe, np. e^x = 1 + x + x^2/2 + ... Któż broni podstawić za x macierz A i policzyć dowolną funkcję analityczną od endomorfizmu (o ile oczywiście odpowiedni szereg jest wówczas zbieżny).
Podobne zabawy można wykonywać również dla endomorfizmów nieskończenie wymiarowych przestrzeni Banacha. W przypadku pewnych szczególnych endomorfizmów (normalnych na przestrzeni Hilberta) można nawet liczyć dowolne funkcje mierzalne.
Podobne Tematy
|
|
Królowa nauk. Najpięknijsza i najbardziej logiczna nauka. To grono jest dla tych, którzy kochaj..
